Mayra Avendaño: estadística segundo

NUMERO FACTORIAL

Si tenemos n, que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de n y lo representamos como n! al producto de los n primeros números naturales no nulos. Es decir, un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1.

Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS FACTORIALES

Multiplicando n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial; es decir, n! (n + 1)= (n + 1)!. De esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n + 1 entre n factorial obtendremos n + 1; es decir, (n + 1)! / n! = n + 1
Si multiplicamos un número factorial k! por sus consecutivos hasta llegar a n obtendremos el factorial de n; es decir, k! • (k + 1) • (k + 2) • (k + 3) • ... • (n – 2) • (n – 1) • n = n!

Los números factoriales generalizados son productos de factores consecutivos en orden inverso. Siendo n y k dos números naturales mayores que 1 y siendo n mayor o igual que k, llamamos factorial generalizado de n de orden k, y se representa como n(^k) , al producto de k factores descendientes a partir de n; es decir: n(^k) = n (n –1) • (n – 2) • (n – 3) • ... • (n – k + 1)

Al igual que en el caso de los factoriales, los símbolos n(0) y n(1) carecen de sentido, pero para poder aplicar las fórmulas, se establece que n(0) = 1 y n(k) = n

Propiedades de los factoriales generalizados:

n(ⁿ) = n!
n(^{n - h}) • h! = n!
n(^h) • (n – h)! = n!

problemas

$(n-1)! = \frac{n!}{n}$ ,

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

4!= $\frac{5!}{5} = \frac{120}{5}=24$ ,

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

3!= $\frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6$ .

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que

$2!=\frac{3!}{3}=\frac{6}{3}=2,\qquad 1!=\frac{2!}{2} =\frac{2}{2}=1.$

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0! corresponde a

$0!=\frac{1!}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Doble factorial

Se define el doble factorial de n como:

$n!! = \begin{cases} 1 & \mbox{si } n=0\mbox{ o }n=-1 \\ 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{par} \\ 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{impar} \\\end{cases}$

Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para $n = 0, 1, 2, \dots$ empieza así:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

$n!!={(-1)^{-(n+1)/2}\over -(n+2)!!}.$

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para $n= -1, -3, -5, -7, \dots\,$ :

$1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots$

El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233

Algunas identidades de los dobles factoriales:

$n!=n!!(n-1)!! \,$
$(2n)!!=2^nn! \,$
$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$
$(2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}$
$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}$
$\Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}$

http://www.youtube.com/watch?v=zNq6ifSsw3k cópielo y pegelo en google y lo ve

Cero factorial

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como 0!=1.

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad: